“Frag Fex”
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Für eine quadratische Gleichung x^2 + px + q = 0 kann man die Lösungen explizit in der p,q-Formel angeben.
Wie lautet die allgemeine Formel für eine kubische Gleichung x^3 + ax^2 + bx + c = 0?
Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gleichung vierten Grades?
Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gleichung fünften Grades?
Falls es keine allgemeine Lösung so bitte ich um eine Erklärung!
Vielen Dank!
Hallo Elena!
Für allgemeine quadratische Gleichungen reicht die p-q Formel nicht aus, sondern man braucht die Mitternachtsformel.
Für kubische (3. Grad) und quartische (4. Grad) Gleichungen gibt es ebenfalls jeweils einen Lösungsformalismus, also Gleichungen, die einem immer die gewünschten Nullstellen liefern. Die Gleichungen für den kubischen Fall (also Polynome 3. Grades) heißen “Cardanische Formeln”. Beide Formalismen sind deutlich komplizierter und umfangreicher als die Mitternachtsformel (deswegen kann ich diese Gleichungen auch hier nicht nennen) und verwenden die komplexen Zahlen.
Für Gleichungen mit einem Grad größer oder gleich 5 existiert ein Beweis (der Satz von Abel-Ruffini), der klarstellt, dass es für solche Gleichungen keine allgemeine Lösungsformel geben kann.
Aloha
Fex
…manche Gleichungen 5. Grades sind trotzdem explizit lösbar, andere aber eben nicht. Es gibt also keine Lösung im allgemeinen Fall. Wichtige Aussagen über die Lösbarkeit von Polynomen macht übrigens die um 1830 entwickelte Galoistheorie. Die allerdings ist zu abstrakt, um sie hier in ein paar Sätzen leicht verständlich zu erklären
Die Lösungen von Gleichungen 5. Grades (wenn sie eben existieren) können extrem komplex sein. Beispielsweise braucht man über 600 Symbole (vor allem jede Menge Wurzeln!) um die exakten (also nicht gerundeten) Lösungen der Gleichung x^5-5x+12=0 hinzuschreiben!
In der Praxis berechnet man heutzutage die Nustellen von Polynomen mit numerischen Verfahren am Rechner. Das bekannteste Verfahren ist das sogenannte Newton-Verfahren.
Fex
Im Allgemeinen ist also das Lösen von Gleichungen höheren Grades keine einfache Angelegenheit