Frage

Der Logarithmus – Einführung

Was ist die Lösung folgender Gleichung?


Bei dieser Gleichung kann man durch Hinsehen und etwas Nachdenken entdecken, dass die Lösung dieser Gleichung x=3 lautet. Denn 2 hoch 3 ist 8. Was ist aber, wenn wir eine etwas schwierigere Gleichung betrachten, in der ebenfalls das x im Exponenten steht?

Beispiel



Hier kann man das x nicht mehr einfach nur „erraten“. Um solche Gleichungen zu lösen, hat man den Logarithmus eingeführt. Die Lösung der obigen Gleichung lässt sich mit Hilfe des Logarithmus schreiben als:


Allgemein gilt also:


Man sagt: x ist der Logarithmus zur Basis 17 von 2358. Das ist die Zahl, mit der man 17 potenzieren muss, um 2358 zu erhalten. Das hat uns jetzt noch nicht viel gebracht, aber mit Hilfe eines Taschenrechners kann man diesen Ausdruck jetzt ausrechnen. Der Taschenrechner beherrscht meist nur bestimmte Logarithmen, beispielsweise den Logarithmus zur Basis 10. Um von der Basis 17 auf die Basis 10 zu kommen verwendet man das sogenannte Basis-Transformationsgesetzt. Es lautet:


Die neue Basis c ist völlig beliebig! Der Taschenrechner versteht auf jeden Fall den ln(x), das ist der Logarithmus naturalis, also der Logarithmus zur Basis e. e ist die sogenannte Eulersche Zahl. Ist alles ein bisschen viel auf einmal, aber ich hoffe, du bist noch dabei.


Dabei ist e=2,71… - wie bereits erwähnt - die Eulersche Zahl – dazu im nächsten Kapitel mehr. In unserem Fall kann man die Lösung x jetzt folgendermaßen umschreiben:


Den Bruch oben rechts kann man jetzt in den Taschenrechner eingeben und erhält:


Die Lösung unseres Beispiels ist also ungefähr 2741/1000. Wir machen die Probe:


Es kommt nicht ganz das richtige heraus, weil wir oben gerundet haben und sich deshalb Rundungsfehler eingeschlichen haben.

Aufgabe

Löse folgende Gleichung:

Hinweis

Verwende den Logarithmus:


...und das Basistransformationsgesetzt:

Antwort

x=2.54...
x=2.75...
x=2.83...
x=2.91...