Frage

Wahrscheinlichkeit

Im Alltag haben wir alle eine recht gute Vorstellung von dem, was Wahrscheinlichkeit bedeutet: je wahrscheinlicher etwas ist, umso eher passiert es auch. Etwas, dass eine Wahrscheinlichkeit von 100% hat, passiert auf jeden Fall. Dagegen findet ein Ereignis, das eine Wahrscheinlichkeit von 0% hat, nie statt. Hier soll es aber logischerweise darum gehen, wie man den Begriff Wahrscheinlichkeit mathematisch präzise fassen kann. Insgesamt ist das ein recht schwieriges und abstraktes Thema (Stichworte: Borel´sche-Sigma-Algebra und Lebesgue-Integral), aber wir werden das Thema hier so einführen, dass es jeder verstehen kann. Die Grundlagen sind eigentlich auch relativ einfach:

Zufallsexperiment und Ergebnisraum

Man geht immer von einem sogenannten Zufallsexperiment aus. Das ist – wie der Name schon andeutet – ein Vorgang, dessen Ergebnis nicht festgelegt ist, sondern sich eben zufällig ergibt. Die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes fast man in der sogenannten Ergebnismenge zusammen. Man kann recht lange darüber philosophieren, was ein Zufallsexperiment ist und was nicht und auch darüber, was Zufall eigentlich ist. Das wollen wir hier jedoch im Moment nicht tun. Stattdessen nehmen wir ganz praktisch ein

Beispiel einer Ergebnismenge

Wir werfen einen Würfel. Welche Zahl der Würfel am Ende zeigt, ist eben nicht festgelegt, sondern zufällig. Das Werfen eines Würfels ist also ein Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge dieses Zufallsexperiments lautet:


Den Buchstaben (sprich: Omega) verwendet man grundsätzlich für die Ergebnismenge.

Laplace-Experimente

Zufallsexperimente, deren Ergebnisse alle gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experimente. Ein Würfel zum Beispiel, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, heißt Laplace-Würfel (das ist praktisch ein nicht gezinkter Würfel - ein gezinkter Würfel dagegen ist eben dann kein L-Würfel!). Bei Laplace Experimenten kann man die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses sehr einfach angeben. Beim Würfel gibt es beispielsweise 6 Ergebnisse, jedes hat beim L-Würfel die gleiche Wahrscheinlichkeit, also muss jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/6 haben. Allgemein nennt man die Anzahl der Elemente einer Menge „Mächtigkeit“, in Formeln wird die Mächtigkeit durch Betragsstriche ausgedrückt. Die Mächtigkeit der Ergebnismenge des Würfels ist beispielsweise gleich 6. Ist allgemein die Mächtigkeit von Omega gleich n, so ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses immer 1/n. In Formeln kann man das so ausdrücken:


Übersetzt: Die Mächtigkeit von Omega sei n, wobei die Elemente von Omega (also die Ergebnisse!) hier genannt werden. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses gleich 1/n ist. Das gilt für alle i (das bedeutet, es gilt für jedes Ergebnis). Wir merken uns also:
Hat ein Laplace-Experiment n Ergebnisse, so ist die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses gleich 1/n

Frage

Wir werfen eine Münze. Die möglichen Ergebnisse sind „Kopf“ und „Zahl“. Wie wahrscheinlich ist es, dass man bei einem Wurf als Ergebnis der Kopf oben liegt?

Hinweis

Betrachte die Formel:


Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es denn beim Münzwurf?

Antwort

P(Kopf)=0,1
P(Kopf)=0,5
P(Kopf)=1
Keine Ahnung!