Frage

Integrale

Integrale sind bestimmte Summen. In der einfachsten Form (die einzige, die auf der Schule relevant ist) stellen sie Flächen unter Graphen dar. Der ganze Integral-Formalismus wird auf der Schule also ausschließlich dazu verwendet, Flächen unter Graphen auszurechnen. Später, auf der Uni, kann man mit ihnen auch Volumina, Längen von Kurven und anderes berechnen. Hier soll ausschließlich der elementare Integral-Formalismus vorgestellt werden.

Flächenberechnung über Integrale

Wir betrachten irgendeine Funktion f(x) und wollen die Fläche unter dem Graphen berechnen. Wir nehmen hier mal als Beispiel die einfache Funktion f(x)=x², deren Graph ja eine Normalparabel ist. Dann wählen wir zwei x-Werte aus, zwischen denen wir die Fläche einzeichnen. Diese x-Werte nennen wir a und b.

Hier eine Skizze:


Die gesuchte Fläche können wir nicht mit irgendeiner einfachen Formel aus der euklidischen Geometrie berechnen, da eine der 4 Seiten der Fläche krumm ist. Für so eine Figur gibt es keine elementare Formel. Um die Fläche doch berechnen zu können, teilt man die Fläche in Balken ein und summiert die Fläche dieser Balken auf. Hier eine Skizze der Balken – wir haben außerdem weitere x-Werte eingeführt, über denen die Balken errichtet werden:


Die Dicke eines Balkens ist bei allen Balken die selbe – wir nennen sie . Die Höhe eines Balkens ist ja genau durch den Funktionswert an der entsprechenden Stelle, also durch f(x), gegeben. Die Fläche eines Balkens ist daher:


Wobei sich die Breite eines Balkens schreiben lässt als:


Die Gesamt-Fläche aller Balken erhältst du dann, wenn du die Flächen aller Balken aufaddierst. Das ergibt folgende Summe:


Die Fläche der Balken entspricht aber nicht ganz der gesuchten Fläche. Am oberen Rand fehlen ein paar Stücke der Fläche. Man kann die gesuchte Fläche also über die Balkenfläche nur nähern, man macht immer einen gewissen Fehler dabei. Es lässt sich aber sagen:


Diesen Fehler kann man aber minimieren, indem man die Anzahl der Balken erhöht. Hier eine Skizze mit mehr Balken, wobei wir die x-Werte jetzt mal weggelassen haben, da die Skizze sonst unübersichtlich werden würde:


Der Unterschied zwischen der gesuchten Fläche und der Balkenfläche wird offensichtlich immer kleiner, je mehr Balken wir benutzen. Der Fehler würde gegen Null gehen, wenn wir die Anzahl der Balken gegen unendlich gehen lassen. Dafür müssen wir die Dicke der Balken gegen Null gehen lassen. So gelangt man zur Definition des Integrals:


Die Dicke der Balken lässt man also gegen Null gehen, dafür geht die Summe jetzt von 1 bis unendlich. Die Gleichung oben ist die Definition des sogenannten Riemann-Integrals (zu Ehren des Mathematikers Georg Friedrich Bernhard Riemann (* 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg (Elbe); † 20. Juli 1866 in Selasca bei Verbania am Lago Maggiore). Es gibt auch noch andere Integrale, die aber in der Schule keine Rolle spielen.


Frage:

Was ist ein Integral?

Hinweis

Die Antwort steht im Text!

Antwort

Ein großer Spaß
Unfug
Eine Summe aus Wurzeln
Eine Summe aus Potenzen
Eine Summe aus Balken