Frage

Herleitung der h-Methode

Bei der Ableitung geht es um die Frage: welche Steigung hat eine beliebige Funktion? Für eine Gerade kennen wir die Antwort bereits. Bei einer Geraden y=mx+t ist die Steigung m definiert als:



Das gilt aber eben nur für Geraden. Wie schaut die Sache aber bei einer nicht-linearen Funktion aus? Bei irgendeiner Funktion, dessen Graph sich irgendwie durch das Koordinatensystem schlängelt?

Als Beispiel betrachten wir die Normalparabel:



Nun stellen wir die Frage: welche Steigung hat diese Funktion im Punkt (1/1)?

Als Erstes müssen wir die Steigung irgendwie definieren, also festlegen. Für Geraden kennen wir bereits eine Definition für die Steigung. Diese würden wir gerne auch hier verwenden. Das geht auch. Man definiert nämlich:

„Die Steigung einer Funktion in einem beliebigen Punkt ist definiert als die Steigung der Tangente an diesen Punkt.“

Dieser Satz kommt dir vielleicht recht kompliziert vor und du solltest dir auch tatsächlich etwas Zeit nehmen, um ihn zu verstehen. Er ist sehr wichtig und grundlegend. Lerne ihn am Besten auswendig!

Wir können den Merksatz nun anwenden. Wir möchten gerne die Steigung der Funktion im Punkt (1/1) kenne. Nach dem Merksatz entspricht diese Steigung genau der Steigung der Tangente an den Punkt (1/1). Wir möchten also die Tangente kennen! Hier eine Skizze, in die wir die Tangente an den Punkt (1/1) eingezeichnet haben:




Bestimmung der Tangente auf herkömmlichem Weg?

Man könnte auf die Idee kommen, die Tangente auf "herkömmlichem" Weg zu bestimmen. Was wissen wir von der Tangente? Wir wissen, dass sie eine Gerade ist und daher die Geradengleichung y=mx+t erfüllt. Außerdem wissen wir, dass sie durch den Punkt (1/1) verläuft. Daraus können wir einige Schlüsse ziehen. Wenn wir für x=1 in die Geradengleichung einsetzen, muss nämlich y=1 herauskommen. Das setzen wir mal ein:

y=mx+t
1=m+t

Diese Gleichung enthält aber leider 2 unbekannte Parameter. Daher gibt es für diese Gleichung keine eindeutige Lösung. In so einem Fall braucht man ja bekanntlich immer eine zweite Gleichung, die einem den Lösungsraum einschränkt. Hier haben wir aber keine zweite Gleichung - dieser Weg ist also eine Sackgasse.


Genialer Trick von Newton und Leibniz hilft weiter!

Um die Steigung der Tangente bestimmen zu können, müssen wir einen Trick anwenden. Diesen Trick entdeckten zuerst Newton und Leibniz - zuerst führen wir erst einmal eine Sekante ein.



Die Sekante zeichnet sich ja gerade dadurch aus, dass sie den Graphen zweimal schneidet. Während wir von der Tangente nur einen Punkt kennen, kennen wir von der Sekante zwei Punkte. Diese Punkte benennen wir nun. Den ersten Punkt (1/1) nennen wir nun allgemein



Den zweiten Punkt, der in unserem Beispiel ja die Koordinaten (2/4) hat, nennen wir nun allgemein



Hier nochmal eine Skizze:



Der Vorteil der allgemeinen Bezeichnung liegt darin, dass er auf alle Funktionen und auf alle Punkte anwendbar. Die Punkte in unserem Beispiel waren dagegen nur in unserem Beispiel richtig – für eine andere Funktion würden auch die Punkte anders lauten.

Die Steigung der Sekante kann man nun - im Gegensatz zur Tangente - allgemein ausdrücken:



Im Zähler steht einfach der Abstand der y-Koordinaten, im Nenner steht der Abstand der x-Koordinaten. Im letzten Schritt haben wir den festgelegten Punkt durch einen beliebigen Punkt x ersetzt.

Wir wollen aber nicht die Steigung der Sekante wissen, sondern die Steigung der Tangente! Jetzt kommt der eigentliche Trick: wir lassen h gegen 0 gehen. Dabei rutscht der zweite Schnittpunkt dem ersten entgegen. Die Sekante klappt dabei in Richtung der Tangente. Die zweite x-Koordinaten rutscht in Richtung der ersten, genauso wie die zweite y-Koordinate. Versuche dir das vorzustellen. Hier eine Skizze:



Nun sind wir fast fertig. Die Definition der Ableitung lautet:



Dabei fällt einem ein Problem auf: wenn man das h im Nenner gegen 0 gehen lässt, steht im Nenner eine 0. Das darf ja gar nicht passieren! Durch 0 Teilen ist ja verboten. Daher muss man das h immer erst in der Rechnung heraus kürzen, bevor man es gegen 0 gehen lässt. Wie man das macht, siehst du in der folgenden

Aufgabe

Als allererste Aufgabe, wollen wir die Frage aus unserem Beispiel oben beantworten.

Bestimme also die Steigung der Funktion
im Punkt P(1/1)

Hinweis

Setze die Koordinaten des Punktes P in die Formel für f´(x) ein.

Die Formel für die Ableitung lautet:



Setze als x-Koordinate eben 1 ein, für f(x) musst du f(1)=1 einsetzen.

Tip: f(x)=x² quadriert alles, was man ihr als Eingabewert gibt. In diesem Fall gibt man ihr den Term (1+h), auch dieser wird von der Funktion quadriert.

Daher ist: f(1+h)=(1+h)²

Antwort

f´(1)=1,5
f´(1)=2
f´(1)=2,5
f´(1)=3